SOAL EKSPONEN | SNPMB

 👀👀👀

SOAL NO  1

$x=36$ dan $y=125$ maka nilai $\frac{x^{-\frac{3}{2}}\sqrt[3]{3y^2}}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}}=\cdots$

$\left(A\right)-\frac{16}{216}$
$\left(B\right)-\frac{25}{216}$
$\left(C\right)-\frac{36}{216}$
$\left(D\right)-\frac{49}{216}$
$\left(E\right)-\frac{64}{216}$

Pembahasan:

Dengan sifat bilangan berpangkat dan sedikit catatan dari bentuk akar $\sqrt[n]{n{a}^m}=a^{\frac{m}{n}}$.

Dengan $x=36=6^2$ dan $y125=5^3$, maka dapat kita tuliskan:

$\begin{array}{cc}& \frac{x^{-\frac{3}{2}}\sqrt[3]{3y^2}}{y^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}}\\ & =\frac{{\left(6^2\right)}^{-\frac{3}{2}}{\left(5^3\right)}^{\frac{2}{3}}}{{\left(5^3\right)}^{\frac{1}{3}}-{\left(6^2\right)}^{\frac{1}{2}}}\\ & =\frac{\left(6^{-3}\right)\left(5^2\right)}{\left(5^1\right)-\left(6^1\right)}\\ & =\frac{25}{6^3\left(-1\right)}\\ & =-\frac{25}{216}\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(B\right)-\frac{25}{216}$

SOAL NO  2

Jika $n$ memenuhi $\underset{nfaktor}{\underset{}{{25}^{0.25}\times {25}^{0.25}\times \cdots \times {25}^{0.25}\times {25}^{0.25}}=125}$
maka $(n-3)(n+2)=\cdots$

$\left(A\right)24$
$\left(B\right)26$
$\left(C\right)28$
$\left(D\right)32$
$\left(E\right)36$

Pembahasan:

$\begin{array}{cc}{25}^{0.25}\times {25}^{0.25}\times \cdots \times {25}^{0.25}\times {25}^{0.25}& =125\\ 5^{2\left(0.25\right)}\times 5^{2\left(0.25\right)}\times \cdots \times 5^{2\left(0.25\right)}\times 5^{2\left(0.25\right)}& =125\\ 5^{0.5}\times 5^{0.5}\times \cdots \times 5^{0.5}\times 5^{0.5}& =5^3\\ {\left(5^{0.5}\right)}^n& =5^3\\ 5^{\frac{1}{2}n}& =5^3\\ 0.5n& =3\\ n& =6\\ (n-3)(n+2)& =(6-3)(6+2)\\ & =24\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(A\right)24$

SOAL NO 3

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x+3}=\sqrt[3]{3{27}^{x+5}}$ adalah$\cdots$

$\left(A\right)-2$
$\left(B\right)-1$
$\left(C\right)0$
$\left(D\right)1$
$\left(E\right)2$

 Pembahasan:

$\begin{array}{cc}{3}^{2x+3}& =\sqrt[3]{3{27}^{x+5}}\\ 3^{2x+3}& ={27}^{\frac{x+5}{3}}\\ 3^{2x+3}& =(3^3{)}^{\frac{x+5}{3}}\\ 3^{2x+3}& =3^{x+5}\\ & \Rightarrow 2x+3=x+5\\ & \Rightarrow 2x-x=5-3\\ & \Rightarrow x=2\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(E\right)2$

SOAL NO 4 

Jika diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x>1$ dan $y>0$. Jika $xy=x^y$ dan $\frac{x}{y}=x^{5y}$, maka $x^2+3y=\cdots$

$\left(A\right)29$
$\left(B\right)28$
$\left(C\right)27$
$\left(D\right)26$
$\left(E\right)25$

Pembahasan:

$\begin{array}{cc}xy& =x^y\\ y& =\frac{x^y}{x}\\ y& =x^{y-1}\end{array}$

$\begin{array}{cc}\frac{x}{y}& =x^{5y}\\ \frac{x}{x^{y-1}}& =x^{5y}\\ x& =x^{5y}\cdot x^{y-1}\\ x& =x^{6y-1}\\ & \Rightarrow 1=6y-1\\ & \Rightarrow 2=6y\\ & \Rightarrow y=\frac{1}{3}\end{array}$

Jika kita substitusikan pers.(1) dan pers.(2) maka kita peroleh;
$\begin{array}{cc}y-1& =1-5y\\ 6y& =2\\ y& =\frac{1}{3}\end{array}$

$\begin{array}{cc}xy& =x^y\\ x\cdot \frac{1}{3}& =x^{\frac{1}{3}}\\ x& =3x^{\frac{1}{3}}\\ x\cdot x^{-\frac{1}{3}}& =3\\ x^{\frac{2}{3}}& =3\\ x^2& =3^3\\ x^2+3y& =3^3+3\cdot \frac{1}{3}=28\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(B\right)28$

SOAL NO 5

Jika $f\left(x\right)=2^{2x}+2^{x+1}-3$ dan $g\left(x\right)=2^x+3$ maka $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\cdots$

$\left(A\right)2^x+3$
$\left(B\right)2^x+1$
$\left(C\right)2^x$
$\left(D\right)2^x-1$
$\left(E\right)2^x-3$

Pembahasan:

$\begin{array}{cc}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}& =\frac{2^{2x}+2^{x+1}-3}{2^x+3}\\ & =\frac{(2^x{)}^2+2^x\cdot 2^1-3}{2^x+3}\\ & =\frac{(2^x{)}^2+2^x\cdot 2^1-3}{2^x+3}\end{array}$

Untuk mempermudah penglihatan, mungkin $2^x$ sementara bisa kita ganti menjadi $m$.
$\begin{array}{cc}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}& =\frac{(m{)}^2+m\cdot 2^1-3}{m+3}\\ & =\frac{m^2+2m-3}{m+3}\\ & =\frac{(m+3)(m-1)}{m+3}\\ & =m-1\\ & =2^x-1\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)2^x$-1

SOAL NO 6

Diketahui bahwa $2^w\cdot a^x\cdot b^y\cdot c^z=2013$ untuk setiap $a,b,c,d,x,y,z$ merupakan bilangan bulat positif dan $w$ bilangan bulat nonnegative dengan $a<b<c$. Nilai $\left(2w\right)+\left(ax\right)+\left(by\right)+\left(cz\right)=\dots$

$\left(A\right)0$
$\left(B\right)3$
$\left(C\right)11$
$\left(D\right)75$
$\left(E\right)611$

Pembahasan:

$\begin{array}{cc}{2}^w\cdot a^x\cdot b^y\cdot c^z& =2013\\ 2^w\cdot a^x\cdot b^y\cdot c^z& =3\cdot 11\cdot 61\\ 2^w\cdot a^x\cdot b^y\cdot c^z& =2^0\cdot 3^1\cdot {11}^1\cdot {61}^1\end{array}$
Sehingga diperoleh; $w=0$, $x=1$, $y=1$, $z=1$, $a=3$, $b=11$, $c=61$

$\begin{array}{cc}& \left(2w\right)+\left(ax\right)+\left(by\right)+\left(cz\right)\\ & =(2\cdot 0)+(3\cdot 1)+(11\cdot 1)+(61\cdot 1)\\ & =0+3+11+61\\ & =75\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)2^x$-1

SOAL NO7

Jika $f\left(x\right)=b^x$, $b$ konstanta positif, maka $\frac{f(x^2-1)}{f(1-x^2)}=\cdots$

$\left(A\right)f(1-x^2)\cdot f(1-x^2)$
$\left(B\right)f(1-x^2)\cdot f(x^2-1)$
$\left(C\right)f(x^2-1)\cdot f(x^2-1)$
$\left(D\right)f(1-x^2)+f(1-x^2)$
$\left(E\right)f(x^2-1)+f(x^2-1)$

SOAL NO 8

Dalam basis 10, bilangan bulat positif $p$ memiliki $3$ digit, bilangan bulat positif $q$ memiliki $p$ digit, bilangan bulat positif $r$ memiliki $q$ digit. Nilai untuk terkecil untuk $r$ adalah$\cdots$

$\left(A\right){10}^{{10}^{100}}$
$\left(B\right){10}^{{10}^{100}-1}$
$\left(C\right){10}^{{10}^{99}}$
$\left(D\right){10}^{{10}^{99}-1}$
$\left(E\right){10}^{{99}^{99}}$

Pembahasan:

Topik ini sebenarnya tidak murni tentang eksponen, tetapi karena pilihannya bilangan berpangkat para siswa melihat ini tentang bilangan berpangkat. Ada sedikit logika atau teori bilangan didalamnya.

Pada soal diinginkan agar nilai bilangan $r$ mempunyai nilai terkecil, maka bilangan $q$ kita juga harus bilangan terkecil. Sehingga bilangan $p$ juga harus memiliki nilai terkecil.

Bilangan $p$ terdiri dari $3$ digit, supaya mendapatkan $p$ bilangan terkecil maka angka pertama [ratusan] dipilih angka $1$ dan sisanya [puluhan dan satuan] dipilih angka nol sehingga $p=100={10}^{3-1}={10}^2$

Bilangan $q$ terdiri dari $100$ digit, supaya mendapatkan $q$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka $1$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga $q={10}^{100-1}={10}^{99}$

Bilangan $r$ terdiri dari $q$ digit, supaya mendapatkan $r$ bilangan terkecil maka angka pertama dipilih angka $1$ dan sisanya dipilih angka nol sehingga $r={10}^{{10}^{99}-1}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right){10}^{{10}^{99}-1}$

SOAL NO 9

Nilai $x$ yang memenuhi $\frac{2^x}{4^{x+2}}=16\cdot 4^x$ adalah$\cdots$

$\left(A\right)-3$
$\left(B\right)-\frac{8}{3}$
$\left(C\right)-2$
$\left(D\right)-\frac{4}{3}$
$\left(E\right)-\frac{2}{3}$

 Pembahasan:

$\begin{array}{cc}\frac{2^x}{4^{x+2}}& =16\cdot 4^x\\ 2^x& =2^4\cdot 4^x\cdot 4^{x+2}\\ 2^x& =2^4\cdot 2^{2x}\cdot 2^{2x+4}\\ 2^x& =2^{4+2x+2x+4}\\ 2^x& =2^{4x+8}\\ x& =4x+8\\ -3x& =8\\ x& =-\frac{8}{3}\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(B\right)-\frac{8}{3}$

SOAL NO 10

$\frac{{2015}^2({2014}^2-2013)}{({2014}^2-1)({2014}^3+1)}\times \frac{{2013}^2({2014}^2+2015)}{({2014}^3-1)}=\cdots$

$\left(A\right)2013\times 2015$
$\left(B\right)2015$
$\left(C\right)2014$
$\left(D\right)2013$
$\left(E\right)1$

 Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal ini agar penulisan dan pemfaktoran lebih mudah dioahami kita gunakan pemisalan, yaitu:
$m=2014$ sehingga $m-1=2013$ dan $m+1=2015$

$\begin{array}{ccc}& \frac{{2015}^2({2014}^2-2013)}{({2014}^2-1)({2014}^3+1)}\times \frac{{2013}^2({2014}^2+2015)}{({2014}^3-1)}& =\frac{(m+1{)}^2(m^2-(m-1))}{(m^2-1)(m^3+1)}\times \frac{(m-1{)}^2(m^2+(m+1))}{(m^3-1)}\\ & =\frac{(m+1{)}^2(m^2-m+1)}{(m^2-1)(m^3+1)}\times \frac{(m-1{)}^2(m^2+m+1)}{(m^3-1)}\\ & =\frac{(m+1)(m+1)(m^2-m+1)}{(m-1)(m+1)(m^3+1)}\times \frac{(m-1)(m-1)(m^2+m+1)}{(m^3-1)}\\ & =\frac{(m+1)(m+1)(m^2-m+1)(m-1)(m-1)(m^2+m+1)}{(m-1)(m+1)(m^3+1)(m^3-1)}\\ & =\frac{(m+1)(m^2-m+1)(m-1)(m^2+m+1)}{(m^3+1)(m^3-1)}\\ & =\frac{(m^3+1)(m^3-1)}{(m^3+1)(m^3-1)}\\ & =1\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(E\right)1$

SOAL NO 11

Nilai dari $\frac{1}{{10}^{-2017}+1}+\frac{1}{{10}^{-2016}+1}+\frac{1}{{10}^{-2015}+1}$$+\cdots +\frac{1}{{10}^0+1}+\cdots +$$\frac{1}{{10}^{2015}+1}+\frac{1}{{10}^{2016}+1}+\frac{1}{{10}^{2017}+1}$ adalah...

$\left(A\right)2015,5$
$\left(B\right)2017,5$
$\left(C\right)0$
$\left(D\right)1$
$\left(E\right)2017$

Pembahasan:

Untuk mengerjakan soal ini jika kita kerjakan satu persatu pastinya akan melelahkan, karena penjumlahan pecahan sampai $2017$ kali, sehingga dibutuhkan kreatifitas, kita butuh pilar (pintar bernalar).

Kita coba dengan menjumlahkan yang kelihatan mirip penyebutnya yaitu:
$\begin{array}{cc}& \frac{1}{{10}^{-2017}+1}+\frac{1}{{10}^{2017}+1}\\ & =\frac{{10}^{2017}+1}{({10}^{-2017}+1)({10}^{2017}+1)}+\frac{{10}^{-2017}+1}{({10}^{-2017}+1)({10}^{2017}+1)}\\ & =\frac{{10}^{2017}+1+{10}^{-2017}+1}{{10}^0+{10}^{2017}+{10}^{-2017}+1}\\ & =\frac{2+{10}^{2017}+{10}^{-2017}}{1+{10}^{2017}+{10}^{-2017}+1}\\ & =\frac{2+{10}^{2017}+{10}^{-2017}}{2+{10}^{2017}+{10}^{-2017}}\\ & =1\end{array}$

$\begin{array}{cc}& \frac{1}{{10}^{-2016}+1}+\frac{1}{{10}^{2016}+1}\\ & =\frac{{10}^{2016}+1}{({10}^{-2016}+1)({10}^{2016}+1)}+\frac{{10}^{-2016}+1}{({10}^{-2016}+1)({10}^{2016}+1)}\\ & =\frac{{10}^{2016}+1+{10}^{-2016}+1}{{10}^0+{10}^{2016}+{10}^{-2016}+1}\\ & =\frac{2+{10}^{2016}+{10}^{-2016}}{1+{10}^{2016}+{10}^{-2016}+1}\\ & =\frac{2+{10}^{2016}+{10}^{-2016}}{2+{10}^{2016}+{10}^{-2016}}\\ & =1\end{array}$

$\begin{array}{cc}& \frac{1}{{10}^{-2015}+1}+\frac{1}{{10}^{2015}+1}\\ & =\frac{{10}^{2015}+1}{({10}^{-2015}+1)({10}^{2015}+1)}+\frac{{10}^{-2015}+1}{({10}^{-2015}+1)({10}^{2015}+1)}\\ & =\frac{{10}^{2015}+1+{10}^{-2015}+1}{{10}^0+{10}^{2015}+{10}^{-2015}+1}\\ & =\frac{2+{10}^{2015}+{10}^{-2015}}{1+{10}^{2015}+{10}^{-2015}+1}\\ & =\frac{2+{10}^{2015}+{10}^{-2015}}{2+{10}^{2015}+{10}^{-2015}}\\ & =1\end{array}$

Dari hasil diatas, jika kita jumlahkan dua pasangan pecahan yang penyebutnya "kelihatan hampir sama" maka kita peroleh hasilnya adalah $1$, dan soal diatas ada sebanyak $2017$ pasangan bilangan.

Pecahan $\frac{1}{{10}^0+1}$ tidak punya pasangan, tetapi nilainya dapat kita hitung yaitu $\frac{1}{{10}^0+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$. Hasil akhir dari soal diatas adalah $2017+\frac{1}{2}=2017,5$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(B\right)2017,5$

SOAL NO 12

Solusi persamaan $5^{2x+1}={10}^{2x-1}$ adalah...

$\left(A\right){}^2\log 25$
$\left(B\right){}^2\log 50$
$\left(C\right){}^4\log 25$
$\left(D\right){}^4\log 50$
$\left(E\right){}^5\log 4$

Pembahasan:

Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar, seperti berikut ini;
$\begin{array}{cc}{5}^{2x+1}& ={10}^{2x-1}\\ 5^{2x}\cdot 5^1& ={10}^{2x}\cdot {10}^{-1}(\times 10)\\ 5^{2x}\cdot 50& ={10}^{2x}\\ 50& =\frac{{10}^{2x}}{5^{2x}}\\ 50& ={\left(\frac{10}{5}\right)}^{2x}\\ 50& =2^{2x}\\ 50& =4^x\end{array}$
Dengan sedikit sentuhan dari logaritma yaitu $a^c=b\iff {}^a\log b=c$ maka dapat kita simpulkan $50=4^x\iff {}^4\log 50=x$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right){}^4\log 50$

SOAL NO 13

Bentuk sederhana dari
$\frac{\left(x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{6}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}}+x\right)\left(x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}\right)}{\left(x^{\frac{4}{3}}-x\right)\left(x+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}\right)}$ dengan $x\ne 0$ adalah...

$\left(A\right)x^{-\frac{1}{3}}$
$\left(B\right)x^{\frac{1}{3}}$
$\left(C\right)x^{\frac{2}{3}}$
$\left(D\right)x^{-\frac{2}{3}}$
$\left(E\right)x^{\frac{1}{2}}$

Pembahasan:

Pangkat pecahannya coba kita samakan penyebutnya terlebih dahulu, bisar lebih cepat proses penjumlahannya;
$\begin{array}{cc}& \frac{\left(x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{6}}\right)\left(x^{\frac{1}{2}}+x\right)\left(x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}\right)}{\left(x^{\frac{4}{3}}-x\right)\left(x+x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{2}{3}}\right)}\\ & =\frac{\left(x^{\frac{2}{6}}-x^{\frac{1}{6}}\right)\left(x^{\frac{3}{6}}+x^{\frac{6}{6}}\right)\left(x^{\frac{3}{6}}+x^{\frac{2}{6}}+x^{\frac{4}{6}}\right)}{\left(x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{6}{6}}\right)\left(x^{\frac{6}{6}}+x^{\frac{2}{6}}+x^{\frac{4}{6}}\right)}\\ & =\frac{\left(x^{\frac{5}{6}}+x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{4}{6}}-x^{\frac{7}{6}}\right)\left(x^{\frac{3}{6}}+x^{\frac{2}{6}}+x^{\frac{4}{6}}\right)}{\left(x^{\frac{14}{6}}+x^{\frac{10}{6}}+x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{10}{6}}\right)}\\ & =\frac{x^{\frac{8}{6}}+x^{\frac{7}{6}}+x^{\frac{9}{6}}+x^{\frac{11}{6}}+x^{\frac{10}{6}}+x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{7}{6}}-x^{\frac{6}{6}}-x^{\frac{8}{6}}-x^{\frac{10}{6}}-x^{\frac{9}{6}}-x^{\frac{11}{6}}}{x^{\frac{14}{6}}-x^{\frac{8}{6}}}\\ & =\frac{x^{\frac{12}{6}}-x^{\frac{6}{6}}}{x^{\frac{14}{6}}-x^{\frac{8}{6}}}\\ & =\frac{x^{\frac{6}{6}}\left(x^{\frac{6}{6}}-1\right)}{x^{\frac{8}{6}}\left(x^{\frac{6}{6}}-1\right)}\end{array}$

$\begin{array}{c}=\frac{x^{\frac{6}{6}}}{x^{\frac{8}{6}}}\\ & =x^{\frac{6-8}{6}}=x^{-\frac{2}{3}}\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)x^{-\frac{2}{3}}$

SOAL NO 14

Jika $4^x-4^{x-1}=6$ maka $(2x{)}^x$ sama dengan

$\left(A\right)3$
$\left(B\right)3\sqrt{3}$
$\left(C\right)9$
$\left(D\right)9\sqrt{3}$
$\left(E\right)27$

Pembahasan:

$\begin{array}{cc}{4}^x-4^{x-1}& =6\\ 4^x-4^x\cdot 4^{-1}& =6(\times 4)\\ 4\cdot 4^x-4^x& =24\\ 4^x\left(4-1\right)& =24\\ 4^x\left(3\right)& =24\\ 4^x& =8\\ 2^{2x}& =2^3\\ 2x& =3\Rightarrow x=\frac{3}{2}\end{array}$

$\begin{array}{cc}(2x{)}^x& ={\left(2\cdot \frac{3}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}\\ & ={\left(3\right)}^{\frac{3}{2}}\\ & =3\cdot 3^{\frac{1}{2}}\\ & =3\sqrt{3}\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(B\right)3\sqrt{3}$

SOAL LNO 15

Diketahui bahwa $3^{(y-x)}(x+y)=1$ dan $(x+y{)}^{(x-y)}=3$, nilai $x^{3y}=\cdots$

$\left(1\right)-\frac{1}{9}$
$\left(2\right)\frac{1}{9}$
$\left(3\right)2$
$\left(4\right)8$

Pembahasan:

$\begin{array}{cc}{3}^{(y-x)}(x+y)& =1\\ (x+y)& =\frac{1}{3^{(y-x)}}\\ (x+y)& =3^{-(y-x)}\\ (x+y)& =3^{(x-y)}\\ (x+y{)}^{(x-y)}& =3\\ 3^{(x-y{)}^{(x-y)}}& =3\\ 3^{(x-y)(x-y)}& =3\\ (x-y{)}^2& =1\\ (x-y)& =\pm 1\end{array}$

$\begin{array}{cc}(x-y)=1\to (x+y{)}^{(x-y)}& =3\\ (x+y{)}^1& =3^1\\ (x+y)& =3\\ (x-y)=-1\to (x+y{)}^{(x-y)}& =3\\ (x+y{)}^{-1}& =3^1\\ (x+y)& =\frac{1}{3}\end{array}$

x−y=1x+y=3(+)2x=4x=2y=1x3y=23(1)=8

$\begin{array}{cc}x-y=-1& \\ x+y=\frac{1}{3}& (+)\\ 2x=-\frac{2}{3}& \\ x=-\frac{1}{3}& y=\frac{2}{3}\\ x^{3y}={\frac{1}{3}}^{3\left(\frac{2}{3}\right)}=\frac{1}{9}\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(C\right)\left(2\right)\frac{1}{9}\text{dan}\left(4\right)8$

SOAL NO 16

Jika $2^{(x+2)}+4^{(x+1)}=48$ nilai dari $\frac{1}{x+1}=\cdots$

$\left(A\right){}^3\log 2$
$\left(B\right)\frac{1}{14}$
$\left(C\right){}^2\log 3$
$\left(D\right){}^2\log 6$
$\left(E\right)3$

Pembahasan:

$\begin{array}{cc}{2}^{(x+2)}+4^{(x+1)}& =48\\ 2^x\cdot 2^2+4^x\cdot \cdot 4^1& =48\\ 2^x+4^x& =12\\ 2^x+2^{(}2x)& =12\\ 2^x\left(1+2^x\right)& =12\\ 2^x\left(2^x+1\right)& =3\left(4\right)\\ 2^x& =3\\ x& ={}^2\log 3\end{array}$

Jika cara di atas kurang paham, coba alternatif berikut:
Saat $2^x+2^{(}2x)=12$ kita misalkan $a=2^x$
$\begin{array}{cc}{2}^x+2^{(}2x)& =12\\ a+a^{(}2)& =12\\ a^{(}2)+a-12& =0\\ (a+4)(a-3)& =0\\ a& =-4\\ 2^x& =-4\left(TM\right)\\ a& =3\\ 2^x& =3\\ x& ={}^2\log 3\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(C\right){}^2\log 3$

SOAL NO 17

Nilai $1-x$ yang memenuhi persamaan $\sqrt{8^{3-x}}=4\cdot 2^{1-2x}$ adalah...

$\left(A\right)-4$
$\left(B\right)-3$
$\left(C\right)-2$
$\left(D\right)3$
$\left(E\right)4$

 Pembahasan:

$\begin{array}{cc}\sqrt{8^{3-x}}& =4\cdot 2^{1-2x}\\ 8^{\frac{3-x}{2}}& =2^2\cdot 2^{1-2x}\\ 2^{\frac{3(3-x)}{2}}& =3-2x\\ 9-3x& =6-4x\\ 4x-3x& =6-9\\ x& =-3\\ 1-x& =1-(-3)=4\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(E\right)4$

SOAL NO 18

Jika $8^m=27$, maka $2^{m+2}+4^m=\cdots$

$\left(A\right)12$
$\left(B\right)15$
$\left(C\right)18$
$\left(D\right)21$
$\left(E\right)24$

 Pembahasan:

$\begin{array}{cc}{8}^m& =27\\ m& ={}^8\log 27\\ m& ={}^{2^3}\log 3^3\\ m& =\frac{3}{3}\cdot {}^2\log 3\\ m& ={}^2\log 3\\ 2^{m+2}+4^m& =2^m\cdot 2^2+2^{2m}\\ & =2^{{}^2\log 3}\cdot 4+2^{2\cdot {}^2\log 3}\\ & =3\cdot 4+2^{{}^2\log 3^2}\\ & =12+9=21\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)21$

SOAL NO 19

Jika $9^{m-1}+9^{m+1}=82$, maka $4^{m+1}=\cdots$

$\left(A\right)\frac{1}{16}$
$\left(B\right)\frac{1}{4}$
$\left(C\right)4$
$\left(D\right)16$
$\left(E\right)64$

 Pembahasan:

$\begin{array}{cc}{9}^{m-1}+9^{m+1}& =82\\ 9^m\cdot 9^{-1}+9^m\cdot 9^1& =82\\ 9^m\left(9^{-1}+9\right)& =82\\ 9^m\left(\frac{82}{9}\right)& =82\\ 9^m& =82\cdot \left(\frac{9}{82}\right)\\ 9^m& =9\\ m& =1\\ 4^{m+1}& =4^{1+1}=16\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)16$

SOAL NO 20

$\frac{5^{4022}-5^{4018}}{5^{4020}-5^{4016}}=\cdots$

$\left(A\right)1$
$\left(B\right)3$
$\left(C\right)\frac{25}{4}$
$\left(D\right)\frac{25}{2}$
$\left(E\right)25$

 Pembahasan:

$\begin{array}{cc}\frac{5^{4022}-5^{4018}}{5^{4020}-5^{4016}}& =\frac{5^{4018}\left(5^4-1\right)}{5^{4016}\left(5^4-1\right)}\\ & =\frac{5^{4018}}{5^{4016}}\\ & =5^{4018-4016}\\ & =5^2=25\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(E\right)25$

SOAL NO 21

Hasil perkalian dari nilai $x$ yang memenuhi $\frac{x^2}{10.000}=\frac{10.000}{x^{2\left({}^{10}\log x\right)-8}}$ adalah...

$\left(A\right){10}^2$
$\left(B\right){10}^3$
$\left(C\right){10}^4$
$\left(D\right){10}^5$
$\left(E\right){10}^7$

 Pembahasan:

$\begin{array}{cc}\frac{x^2}{10.000}& =\frac{10.000}{x^{2\left({}^{10}\log x\right)}-8}\\ x^2\cdot x^{2\left({}^{10}\log x\right)-8}& ={10}^8\\ x^{2\left({}^{10}\log x\right)-6}& ={10}^8\\ {}^x\log {10}^8& ={}^{10}\log x-6\\ 8{}^x\log 10& =2{}^{10}\log x-6\end{array}$
Misal: $m={}^x\log 10$ maka $\frac{1}{m}={}^{10}\log x$
$\begin{array}{cc}8m& =\frac{2}{m}-6\\ 8m^2& =2-6m\\ 4m^2+3m-1& =0\\ (4m-1)(m+1)& =0\\ m=-1\text{atau}m& =\frac{1}{4}\end{array}$

$\begin{array}{cc}m& ={}^x\log 10\Rightarrow \frac{1}{4}={}^x\log 10\\ x^{\frac{1}{4}}& =10\Rightarrow x={10}^4\end{array}$

$\begin{array}{cc}m& ={}^x\log 10\Rightarrow -1={}^x\log 10\\ x^{-1}& =10\Rightarrow x={10}^{-1}\end{array}$

Hasil perkalian nilai $x$ adalah ${10}^4\cdot {10}^{-1}={10}^3$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(B\right){10}^3$

SOAL NO 22

Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $a^b=2^{20}-2^{19}$, maka nilai $a+b$ adalah...

$\left(A\right)3$
$\left(B\right)7$
$\left(C\right)19$
$\left(D\right)21$
$\left(E\right)23$

Pembahasan:

Bentuk persamaan kita coba manipulasi dengan sifat-sifat aljabar, seperti berikut ini;
$\begin{array}{cc}{a}^b& =2^{20}-2^{19}\\ & =2^{19}\left(2-1\right)\\ & =2^{19}\\ a& =2\\ b& =19\\ a+b& =19+2=21\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)21$

SOAL  NO 23

Jika $3^{(1-2x)}-2\cdot 3^{(2-2x)}+20\cdot 3^{(1-x)}-5\cdot 3^2=0$, hasil kali dari semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah...

$\left(A\right)-3$
$\left(B\right)-1$
$\left(C\right)0$
$\left(D\right)2$
$\left(E\right)3$

Pembahasan:

Soal di atas adalah perpaduan antara bilangan berpangkat dengan persamaan kuadrat, penyelesaiannya kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{array}{cc}{3}^{(1-2x)}-2\cdot 3^{(2-2x)}+20\cdot 3^{(1-x)}-5\cdot 3^2& =0\cdots \text{dikali}3\\ 3^{(1-2x)}\cdot 3-2\cdot 3^{(2-2x)}\cdot 3+20\cdot 3^{(1-x)}\cdot 3-5\cdot 3^2\cdot 3& =0\\ 3^{(2-2x)}-6\cdot 3^{(2-2x)}+60\cdot 3^{(1-x)}-5\cdot 3^3& =0\\ -5\cdot 3^{(2-2x)}+60\cdot 3^{(1-x)}-5\cdot 27& =0\\ -5\cdot {\left(3^{(1-x)}\right)}^2+60\cdot 3^{(1-x)}-5\cdot 27& =0\cdots \text{dibagi}-5\\ {\left(3^{(1-x)}\right)}^2-12\cdot 3^{(1-x)}+27& =0\end{array}$

$\begin{array}{cc}\text{misal:}{3}^{(1-x)}=p& \\ p^2-12p+27& =0\\ (p-9)(p-3)& =0\\ p=9\text{atau}p=3& \\ p=9\Rightarrow & 9=3^{(1-x)}\\ & 3^2=3^{(1-x)}\\ & x=-1\\ p=3\Rightarrow & 3=3^{(1-x)}\\ & 3^1=3^{(1-x)}\\ & x=0\end{array}$
Hasil kali dari semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $1\times 0=0$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $\left(C\right)0$

SOAL NO 24

Jika $\frac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}}=4^x$, maka $x=\cdots$

$\left(A\right)\frac{1}{3}$
$\left(B\right)\frac{5}{12}$
$\left(C\right)\frac{1}{2}$
$\left(D\right)\frac{7}{12}$
$\left(E\right)\frac{2}{3}$

Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:
$\begin{array}{cc}\frac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}}& =4^x\\ \frac{2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}}{2^{-\frac{1}{2}}+2^{-\frac{1}{3}}}\cdot \frac{2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{5}{6}}}& =4^x\\ \frac{\left(2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}\right)\cdot 2^{\frac{5}{6}}}{2^{-\frac{1}{2}+\frac{5}{6}}+2^{-\frac{1}{3}+\frac{5}{6}}}& =4^x\\ \frac{\left(2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}\right)\cdot 2^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{2}}}& =4^x\\ 2^{\frac{5}{6}}& =2^{2x}\\ \frac{5}{6}& =2x\\ \frac{5}{12}& =x\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(D\right)\frac{5}{12}$

SOAL NO 25

Jika $A^{2x}=2$, maka $\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}=\cdots$

$\left(A\right)\frac{31}{18}$
$\left(B\right)\frac{31}{9}$
$\left(C\right)\frac{32}{18}$
$\left(D\right)\frac{33}{9}$
$\left(E\right)\frac{33}{18}$

Pembahasan:

Dengan menggunakan beberapa sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, bentuk alternatif penjabaran soal di atas kurang lebih seperti berikut ini:

$\begin{array}{cc}\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}& =\frac{A^{5x}-A^{-5x}}{A^{3x}+A^{-3x}}\cdot \frac{A^{5x}}{A^{5x}}\\ & =\frac{A^{10x}-A^0}{A^{8x}+A^{2x}}\\ & =\frac{{\left(A^{2x}\right)}^5-1}{{\left(A^{2x}\right)}^4+A^{2x}}\\ & =\frac{{\left(2\right)}^5-1}{{\left(2\right)}^4+2}\\ & =\frac{32-1}{16+2}\\ & =\frac{31}{18}\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(A\right)\frac{31}{18}$

SOAL NO 26

Jika $\sqrt[3]{34^{x+1}}=2\sqrt{8^x}$ maka nilai $x=\cdots$

$\left(A\right)1$
$\left(B\right)\frac{2}{5}$
$\left(C\right)\frac{1}{5}$
$\left(D\right)-\frac{1}{5}$
$\left(E\right)-\frac{2}{5}$

Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:

$\begin{array}{cc}\sqrt[3]{34^{x+1}}& =2\sqrt{8^x}\\ \sqrt[3]{32^{2x+2}}& =2\sqrt{2^{3x}}\\ 2^{\frac{2x+2}{3}}& =2\cdot 2^{\frac{3x}{2}}\\ 2^{\frac{2x+2}{3}}& =2^{\frac{3x}{2}+1}\\ 2^{\frac{2x+2}{3}}& =2^{\frac{3x+2}{2}}\\ \frac{2x+2}{3}& =\frac{3x+2}{2}\\ 4x+4& =9x+6\\ 4-6& =9x-4x\\ -2& =5x\\ -\frac{2}{5}& =x\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $\left(E\right)-\frac{2}{5}$

SOAL NO 27

Jika $x_1$ dan $x_2$ memenuhi $2^{x^2}{4}^{-2x}=\frac{1}{8}$ dengan $x_1>x_2$, maka $x_1-x_2=\cdots$

$\left(A\right)1$
$\left(B\right)2$
$\left(C\right)3$
$\left(D\right)4$
$\left(E\right)5$

 Pembahasan:

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat dan manipulasi aljabar, maka kita peroleh:

$\begin{array}{cc}{2}^{x^2}\cdot 4^{-2x}& =\frac{1}{8}\\ 2^{x^2}\cdot 2^{-4x}& =2^{-3}\\ 2^{x^2-4x}& =2^{-3}\\ x^2-4x& =-3\\ x^2-4x+3& =0\\ (x-1)(x-3)& =0\\ x=1\text{atau}x=3& \end{array}$

Karena $x_1>x_2$, maka $x_1-x_2=3-1=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $\left(B\right)2$

SOAL NO 28

Diketahui $m,n,$ dan $k$ adalah bilangan real sehingga mememenuhi sistem persamaan $\{\begin{array}{c}\sqrt{5^{m-2n-k}}=25\\ {25}^{n+k}=5\end{array}$
Nilai dari $\frac{5^m}{5^n}=\cdots$

$\left(A\right)\sqrt{5}$
$\left(B\right)5\sqrt{5}$
$\left(C\right)25\sqrt{5}$
$\left(D\right)125\sqrt{5}$
$\left(E\right)625\sqrt{5}$

Pembahasan:

Dari kedua persamaan di atas dapat kita tuliskan:
$\begin{array}{cc}{25}^{n+k}& =5\\ 5^{2(n+k)}& =5^1\\ 2(n+k)& =1\to n+k=\frac{1}{2}\\ \sqrt{5^{m-2n-k}}& =25\\ 5^{m-2n-k}& ={25}^2\\ 5^{m-2n-k}& =5^4\\ m-2n-k& =4\\ m-n-n-k& =4\\ m-n-(n+k)& =4\\ m-n-\frac{1}{2}& =4\\ m-n& =4\frac{1}{2}\\ \frac{5^m}{5^n}& =5^{m-n}\\ & =5^{4\frac{1}{2}}=5^4\cdot 5^{\frac{1}{2}}\\ & =625\sqrt{5}\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(E\right)625\sqrt{5}$

SOAL NO 29

Jika $4^x+4^{-x}=7$, maka nilai $8^x+8^{-x}=\cdots$

$\left(A\right)14$
$\left(B\right)18$
$\left(C\right)27$
$\left(D\right)49$
$\left(E\right)81$

Alternatif Pembahasan:

Misal $2^x=p$ dan $2^{-x}=q$ sehingga kita peroleh $pq=2^x\cdot 2^{-x}=2^0=1$. Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat maka dapat kita tuliskan:
$\begin{array}{cc}{4}^x+4^{-x}& =7\\ {\left(2^x\right)}^2+{\left(2^{-x}\right)}^2& =7\\ p^2+q^2& =7\\ {\left(p+q\right)}^2-2pq& =7\\ {\left(p+q\right)}^2-2\left(1\right)& =7\\ {\left(p+q\right)}^2& =7+2\\ p+q& =\pm \sqrt{9}\\ p+q& =3\\ 8^x+8^{-x}& ={\left(2^x\right)}^3+{\left(2^{-x}\right)}^3\\ & =p^3+q^3\\ & ={\left(p+q\right)}^3-3pq\left(p+q\right)\\ & ={\left(3\right)}^3-3\left(1\right)\left(3\right)\\ & =27-9=18\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(B\right)18$

SOAL NO 30

Jika $a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n$ adalah bilangan-bilangan asli berlainan yang memenuhi $2^{a_1}+2^{a_2}+2^{a_3}+\cdots +2^{a_n}=2018$, maka nilai $a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=\cdots$

$\left(A\right)44$
$\left(B\right)45$
$\left(C\right)46$
$\left(D\right)47$
$\left(E\right)48$

Pembahasan:

Dari hasil penjumlahan $2^{a_1}+2^{a_2}+2^{a_3}+\cdots +2^{a_n}=2018$ dapat kita simpulkan bahwa $a_n$ yang paling tinggi adalah $a_n=10$ karena $2^{10}=1024$.

Jika eksplorasi dari $a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n$ adalah $1,2,3,\cdots ,10$ maka kita peroleh hasil penjumlahannya adalah:
$\begin{array}{cc}& 2^{a_1}+2^{a_2}+2^{a_3}+\cdots +2^{a_{10}}\\ & =2^1+2^2+2^3+\cdots +2^{10}\\ & =2+4+8+\cdots +1024\\ S_n& =\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\\ & =\frac{2\left(2^{10}-1\right)}{2-1}\\ & =\frac{2\left(1024-1\right)}{1}\\ & =2046\end{array}$

Hasil penjumlahan yang kita peroleh adalah $2046$, sedangkan hasil yang kita harapkan adalah $2018$ maka kita punya selisih $2046-2018=28$.

Dari bilangan $2^1$ sampai $2^{10}$ apabila dijumlahkan, $28$ dapat kita peroleh dari $4+8+16$ atau $2^2+2^3+2^4$. Sehingga $a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n$ yang memenuhi adalah $1+5+6\cdots +10$ yaitu $55-9=46$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(E\right)625\sqrt{5}$

soal no 31

Diketahui $x_0$ dan $y_0$ adalah nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan $\{\begin{array}{c}{2}^{x+1}-3^y=7\\ -\left(2^{x-1}\right)-3^{y+1}=-5\end{array}$
maka $x_0+y_0$ adalah$\cdots$

$\left(A\right)-1$
$\left(B\right)0$
$\left(C\right)1$
$\left(D\right)1$
$\left(E\right)2$

Pembahasan:

$\begin{array}{cc}{2}^{x+1}-3^y& =7\\ 2^x\cdot 2^1-3^y& =7\\ 2^x\cdot 2-3^y& =7\end{array}$

$\begin{array}{cc}-\left(2^{x-1}\right)-3^{y+1}& =-5\\ 2^{x-1}+3^{y+1}& =5\\ 2^x\cdot 2^{-1}+3^y\cdot 3^1& =5\\ 2^x\cdot \frac{1}{2}+3^y\cdot 3& =5\\ 2^x+3^y\cdot 6& =10\end{array}$

Dengan memisalkan $m=2^x$ dan $n=3^y$, maka sistem persamaan dapat kita ubah sementara menjadi;
$\begin{array}{cc}2m-n=7& (\times 1)\\ m+6n=10& (\times 2)\\ 2m-n=7& \\ 2m+12n=20& (-)\\ -13n=-13& 2m-1=7\\ n=1& m=4\end{array}$

• $m=2^x$ $\Rightarrow$ $4=2^x$ $\Rightarrow$ $x=2$
• $n=3^y$ $\Rightarrow$ $1=3^y$ $\Rightarrow$ $y=0$
• Nilai $x_0+y_0=2+0=2$

$\therefore \therefore Pilihan\; yang\; sesuai\; adalah (D) 2 soal\; no\; 32Jika ax=by=cz𝑎𝑥=𝑏𝑦=𝑐𝑧 dan b2=ac𝑏2=𝑎𝑐,\; maka x=\cdots 𝑥=\cdots$

$\left(A\right)\frac{2yz}{y+z}$
$\left(B\right)\frac{2yz}{2z-y}$
$\left(C\right)\frac{2yz}{2y-z}$
$\left(D\right)\frac{yz}{2y-z}$
$\left(E\right)\frac{yz}{2z-y}$

embahasan:

Dari kesamaan $a^x=b^y=c^z$ dapat kita peroleh $a^x=b^y$ atau $a^{\frac{x}{y}}=b$ dan $a^x=c^z$ atau $a^{\frac{x}{z}}=c$.

Dengan $b^2=ac$, maka dapat kita tuliskan:
$\begin{array}{cc}{b}^2& =ac\\ {\left(a^{\frac{x}{y}}\right)}^2& =a\cdot a^{\frac{x}{z}}\\ a^{\frac{2x}{y}}& =a^{1+\frac{x}{z}}\\ \frac{2x}{y}& =1+\frac{x}{z}\\ \frac{2x}{y}& =\frac{x+z}{z}\\ 2xz& =xy+yz\\ 2xz-xy& =yz\\ x\left(2z-y\right)& =yz\\ x& =\frac{yz}{2z-y}\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(E\right)\frac{yz}{2z-y}$

 Soal no 33

Jika $x=\left(p^{-\frac{1}{2}}-q^{-\frac{1}{2}}\right){\left(p^{-1}+q^{-1}+2{\left(pq\right)}^{-\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}$ dan $y={\left(p+q\right)}^{-2}\left(p^{-1}+q^{-1}\right)$ dengan $p,q>0$, $p\ne q$, maka $\frac{x}{y}=\cdots$

$\left(A\right){\left(p+q\right)}^{-1}$
$\left(B\right){\left(p+q\right)}^{-2}$
$\left(C\right){\left(p+q\right)}^2$
$\left(D\right)\sqrt{p}+\sqrt{q}$
$\left(E\right)\sqrt{p}-\sqrt{q}$

embahasan:

Untuk menyelesaikan soal di atas, kita coba pinjam catatan bentuk akar yaitu $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$ dan $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$.

Pertama kita coba sederhanakan bentuk $x$, yaitu:
$\begin{array}{cc}x& =\left(p^{-\frac{1}{2}}-q^{-\frac{1}{2}}\right){\left(p^{-1}+q^{-1}+2{\left(pq\right)}^{-\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ & =\left(\frac{1}{p^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{q^{\frac{1}{2}}}\right){\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+2\cdot \frac{1}{{\left(pq\right)}^{\frac{1}{2}}}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ & =\left(\frac{1}{\sqrt{p}}-\frac{1}{\sqrt{q}}\right)\left(\sqrt{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+2\cdot \frac{1}{\sqrt{pq}}}\right)\\ & =\left(\frac{1}{\sqrt{p}}-\frac{1}{\sqrt{q}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{p}}+\frac{1}{\sqrt{q}}\right)\\ & =\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right)\\ & =\left(p^{-1}-q^{-1}\right)\\ \frac{x}{y}& =\frac{\left(p^{-1}-q^{-1}\right)}{{\left(p+q\right)}^{-2}\left(p^{-1}+q^{-1}\right)}\\ & =1(p+q)-2=(p+q)2\frac{}{}\end{array}$

$\therefore \therefore Pilihan\; yang\; sesuai\; adalah (C) (p+q)2$

 Soal 34

Jika $4^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7=0$, dengan $x>0$, maka $2^x+2^{-x}=\cdots$

$\left(A\right)\sqrt{2}$
$\left(B\right)\sqrt{5}$
$\left(C\right)\sqrt{7}$
$\left(D\right)\sqrt{10}$
$\left(E\right)\sqrt{11}$

Pembahasan:

$\begin{array}{cc}{4}^x+4^{-x}-2^{2-x}+2^{2+x}-7& =0\\ 2^{2x}+2^{-2x}-2^2\cdot 2^{-x}+2^2\cdot 2^x-7& =0\\ 2^{2x}+2^{-2x}+2^2\cdot \left(2^x-2^{-x}\right)-7& =0\end{array}$
$\begin{array}{cc}\text{misal}{2}^x-2^{-x}& =m\\ {\left(2^x-2^{-x}\right)}^2& =m^2\\ 2^{2x}+2^{-2x}-2\cdot 2^x\cdot 2^{-x}& =m^2\\ 2^{2x}+2^{-2x}-2& =m^2\\ 2^{2x}+2^{-2x}& =m^2+2\end{array}$
$\begin{array}{cc}{2}^{2x}+2^{-2x}+2^2\cdot \left(2^x-2^{-x}\right)-7& =0\\ m^2+2+2^2\cdot m-7& =0\\ m^2+4m-5& =0\\ \left(k-1\right)\left(k+5\right)& =0\\ m=1\text{atau}m=-5\text{(TM)}& \end{array}$
Untuk $m=-5$ tidak memenuhi, karena $x>0$ sehingga $2^x-2^{-x}=m>0$.

$Untuk m=1𝑚=1,\; maka\; kita\; akan\; peroleh:2x-2-x=m2x-2-x=1misal 2x=n2-x=1n2x-2-x=1n-1n=1n2-1=nn2-n-1=0Dengan menggunakan\; rumus abc𝑎𝑏𝑐 kita\; peroleh\; nilai n𝑛 yaitu:n12=-b\pm \surd b2-4ac2a=-(-1)\pm \surd (-1)2-4(1)(-1)2(1)=1\pm \surd 1+42=1\pm \surd 52n1=1+\surd 52 atau n2=1-\surd 52 (TM)𝑛12=-𝑏\pm 𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎=-(-1)\pm (-1)2-4(1)(-1)2(1)=1\pm 1+42=1\pm 52𝑛1=1+52 atau 𝑛2=1-52 (TM)Untuk n=1-\surd 52𝑛=1-52 tidak\; memenuhi,\; karena x>0𝑥>0 sehingga 2x=n>02𝑥=𝑛>0.$

Nilai $n$ yang kita gunakan adalah $n=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, sehingga $2^x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Maka dapat kita peroleh:
$\begin{array}{cc}{2}^x+2^{-x}& =\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{1+\sqrt{5}}\\ & =\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{1+\sqrt{5}}\cdot \frac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\\ & =\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{2\left(1-\sqrt{5}\right)}{1-5}\\ & =\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{2\left(1-\sqrt{5}\right)}{-4}\\ & =\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ & =\frac{\sqrt{5}+\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}\end{array}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $\left(B\right)\sqrt{5}$